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On 23.05.2020
Last modified:23.05.2020

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Diese Tätigkeit ist zwar bei Informatikern — ganz besonders bei denen in 7. Im Rahmen dieses Buches müssen wir uns auf eine sehr fragmentarische Behandlung dieses Themas beschränken.

Dabei muss man sowohl Standardsituationen erfassen als auch oder sogar ganz besonders pathologische Randfälle.

Auswahl der Testdaten. Zu jedem Testfall — also zu jeder Klasse von Eingabedaten — muss man dann einige repräsentative Exemplare auswählen, mit denen der eigentliche Testlauf durchgeführt wird.

Neben den klassischen Testtechniken werden wir hier gelegentlich auch noch auf einen anderen Ansatz eingehen: Aus der Schule kennt man die Methode, z.

Diese Technik lässt sich auch in die Programmierung übertragen. Allgemeiner gibt es manchmal ein Prädikat p x, y , das für p x, f x den Wert true liefern muss.

In der Praxis bewirkt diese Technik aber noch ein unangenehmes Problem. Das wird von den gängigen Sprachen und Entwicklungsumgebungen gar nicht oder zumindest nur schlecht unterstützt.

Ein zumindest partieller Workaround für dieses Problem ist in java möglich, indem man die Probe jeweils in eine assert-Anweisung einbaut.

Das folgende Programmfragment liefert Methoden zur Ermittlung des Mittelwerts M und der Streuung S auch Standardabweichung genannt einer Folge von Messwerten.

Aufgabe: Mittelwert, Streuung Gegeben: Eine Folge von Messwerten x1 ,. Methode: Das Programm lässt sich durch einfache Schleifen realisieren.

Die entsprechenden Methoden sind in Programm 7. Aber aus Dokumentationsgründen haben wir die umständliche Form gewählt die der Compiler ohnehin generieren würde.

Auch hier sind die beiden Hilfsfunktionen wieder als private gekennzeichnet. Interessant an diesem Beispiel ist aber vor allem, dass eine Funktion einen ganzen, neu kreierten Array als Ergebnis liefert.

Weil das Objekt aber unwichtig ist, können wir es auch anonym lassen. Die Konzepte, die wir im Folgenden kurz skizzieren, lassen sich detaillierter in [12] nachlesen; [40] präsentiert eine Implementierung in java.

RSA-Verfahren basieren. Den folgenden Konzepten liegen Theoreme aus dem Bereich der sog. Primzahlkörper zugrunde, die man in entsprechenden Algebrabüchern detailliert nachlesen kann.

Das Informatik-Buch [12] enthält eine hinreichend genaue Skizze der mathematischen Grundlagen. Wir müssen uns hier darauf beschränken, die einschlägigen Fakten nur zu zitieren.

Wenn die Nachricht M zu lang ist, teilen wir sie in Stücke passender Länge auf und verschlüsseln jedes Stück einzeln. Stattdessen brauchen wir einen echten Primzahltest.

Soviel zur Motivation. Jedenfalls wäre ihr Auftauchen ein echtes Problem für die gesamte Sicherheitstechnolgie im Internet. Wir folgen in diesem Abschnitt der Darstellung aus [12, 40].

Sei r eine gegebene Zahl, von der wir wissen wollen, ob sie prim ist oder nicht. Mit diesem Zeugen ist der Prozess beendet.

Also müssen wir weitere Zeugen suchen, z. Das führt auf den sog. Miller-Rabin-Test, dessen Rahmen wir in Programm 7.

Dies geschieht im Programm isComposite, das wir im Programm 7. Wenn der Test die Zahl r als zusammengesetzt entlarvt, dann ist das eine garantierte Aussage und wir sind fertig.

Andernfalls könnte r immer noch prim sein und wir suchen den nächsten Zeugen. Wenn wir k Zeugen befragt haben und die Zahl r noch immer nicht als zusammengesetzt überführt ist, dann glauben wir, dass sie eine Primzahl ist.

Genauer gilt ohne Beweis; s. Eine Programmoptimierung. Wie in [12] ausgeführt wird, werden damit auch die sog. Carmichael-Zahlen — z.

Wie in den Gleichungen 7. C g mod n gebraucht. Dies lässt sich analog zur Funktion isComposite programmieren. Aber um eine Zahl zu testen, müssen wir sie erst einmal haben.

Es gibt ein Theorem über die Verteilung von Primzahlen, nach dem die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Zahl n prim ist, ln1n beträgt.

Bei unserem Programm dürfen wir eigentlich nicht auf Elementen des Typs long arbeiten, weil diese nicht in den interessanten Bereich von Dezimalstellen und mehr reichen.

Stattdessen müssten wir Objekte der Klasse BigInteger verwenden, die von java im Package java. Diese Klasse enthält erfreulicherweise bereits Methoden wie bitLength oder testBit i.

Wir wollen den Rückzahlungsverlauf darstellen. Gesucht: Verlauf der Rückzahlung. Diese Plausibilitätskontrollen sollen explizit durchgeführt werden.

Methode: Wir trennen die Methoden zur Datenerfassung von den eigentlichen Berechnungen. Die Berechnungen erfolgen in einer einfachen Schleife, in der wir den Ablauf in der realen Welt jahresweise simulieren.

Als Rahmen für unser Programm haben wir im Prinzip wieder zwei Objekte, nämlich das eigentliche Programm und das Terminal. Das führt zu der Architektur von Abbildung 7.

Wie üblich wird im Hauptprogramm main nur ein Hilfsobjekt z kreiert, dessen Methode zins die eigentliche Arbeit übernimmt. Um eine klare Struktur zu erhalten, fassen wir die logischen Teilaufgaben der Methode zins jeweils in entsprechende Hilfsmethoden einlesen und 7.

Architektur des Zinsprogramms Programm 7. Da es sich dabei um zwei Hilfsmethoden handelt, werden sie als private gekennzeichnet.

Die Klasse Zins sieht alle relevanten Daten als private Attribute vor. Beim Einlesen der Daten wollen wir — im Gegensatz zu unseren bisherigen Einführungsbeispielen — auch Plausibilitätskontrollen mit einbauen.

Denn die Berechnung ist nur sinnvoll, wenn ein echtes Darlehen und echte Rückzah- 7 Aspekte der Programmiermethodik lungsraten angenommen werden.

Prinzip der Programmierung: Plausibilitätskontrollen Bei jeder Benutzereingabe ist so genau wie möglich zu überprüfen, ob die Werte für die gegebene Aufgabe plausibel sind.

Wie man in Programm 7. Bei fehlerhafter Eingabe muss natürlich ein Hinweis an den Benutzer erfolgen, wo das Problem steckt.

Jetzt wenden wir uns der Methode darlehensverlauf in Programm 7. Zunächst müssen wir uns die Lösungsidee klarmachen: Wir bezeichnen mit Si den Schuldenstand am Ende des Jahres i.

In diesem Fall wollen wir nur den Stand nach dem ersten Jahr und eine entsprechende Warnung ausgeben. Wir müssen beachten, dass die letzte Rückzahlung i.

In darlehensverlauf wird 7 Aspekte der Programmiermethodik die Hauptschleife zur Berechnung des gesamten Schuldenverlaufs realisiert.

Dabei muss das erste Jahr gesondert behandelt werden, um ggf. Die Methode jahresSchritt führt die Berechnung am Jahresende — also Zinsberechnung und Ratenzahlung — aus.

Dabei muss das letzte Jahr gesondert behandelt werden. Hier benötigen wir zum ersten Mal wirklich Casting, weil wir die Gleitpunktzahl, die bei der Multiplikation mit dem Zinssatz entsteht, wieder in eine ganze Zahl verwandeln müssen.

Weil die Ausgabe des aktuellen Standes an mehr als einer Stelle im Programm vorkommt, wird sie in eine Methode zeigen eingepackt.

Das ist zwar vom Compiler nicht gefordert, aber es erhöht den Dokumentationswert. Für diese müsste dann noch ein Induktionsbeweis erbracht werden, um Gewissheit zu haben.

Hinweis: Bei der x-Achse — also den Jahren — könnte man eine konstante Skalierung vornehmen, die spätestens bei Jahren aufhört.

Variation: Man gebe die Temperaturen jeweils auch in Fahrenheit an. Sprichwort Zu den Standardaufgaben in der Informatik gehören das Suchen von Elementen in Datenstrukturen und — als Vorbereitung dazu — das Sortieren von Datenstrukturen.

Die Rechtschreibung eines Wortes klärt man besser mithilfe eines Dudens als durch Suche in diversen Tageszeitungen. Das Thema stellt sich dabei meist in leicht unterschiedlichen Varianten, je nachdem, was für Datenstrukturen vorliegen.

Wir betrachten hier Prototypen dieser Programme für unsere bisher einzige Datenstruktur: Arrays. Beachte: Das Verfahren ist so nicht stabil!

Für Stabilität müssten die Bereiche white und red geshiftet werden, sodass x ganz rechts steht. Dabei sind jeweils die Indizes entsprechend anzupassen, damit die vier Bereiche immer korrekt sind.

Es gibt aber ein technisches Problem, das einer Erklärung bedarf. Welche Rolle spielt die Klasse Pair? Die Antwort ist — wieder einmal — eine Design-Schwäche von java.

Allerdings hat java diese Schwäche mit nahezu allen Programmiersprachen gemeinsam: Methoden können nicht mehr als ein Ergebnis haben.

Man führt Klassen-globale Variablen b und r ein und speichert am Ende von rearrange die Werte der lokalen Variablen b und r in diese Klassenglobalen Variablen.

Diese müssen dann in qsort sofort wieder in die dortigen lokalen Variablen geschrieben werden, weil im nächsten rekursiven Aufruf die Klassen-globalen Variablen wieder überschrieben werden.

Diese Technik ist aber ausgesprochen fehleranfällig und sollte daher vermieden werden. Da rearrange nicht rekursiv ist, könnte man den Rumpf auch direkt anstelle des Aufrufs in der Methode qsort einbauen.

Dabei muss man natürlich die Variablen entsprechend anpassen. Eine der wenigen Ausnahmen ist z. Es ist eigentlich unverständlich, weshalb so viele Sprachen den Programmierern dieses Ausdrucksmittel verbauen; denn es macht compilertechnisch keinerlei Probleme.

Standardtests: Leerer, ein-, zweielementiger Array; sortierter Array; alle Elemente gleich. Für den Umordnungsteil: Pivotelement p ist das kleinste bzw.

Alle Elemente von a[i.. Die Arbeitsweise von Mergesort Im Detail s. Abbildung 8. Beim Sortieren der hinteren Hälfte ist a der Haupt- und b der Hilfsarray.

Dabei ist es wichtig, dass der Zielarray a die hintere Hälfte Programm 8. Andernfalls würden i. Programm 8. Die Methode sort generiert zunächst einen Hilfsarray b gleicher Länge und ruft dann die zentrale Hilfsmethode msort auf.

Die Methode msort sortiert einen Teilarray a[i.. Das Ergebnis wird im Teilarray a[i.. Der Teilarray b[i..

Für einelementige Arrays ist nichts zu tun, bei zweielementigen Arrays ist höchstens ein swap nötig.

Abschnitt 5. Beim Zusammenmischen in der Methode merge ist wichtig, dass die untere Hälfte des Zielarrays a nicht besetzt ist.

Denn sonst würden i. Wenn der Teilarray als Erster vollständig übertragen ist, muss der Rest von b noch nach a kopiert werden sortiert ist er ja schon.

Falls b zuerst fertig ist, kann man aufhören, weil dann die restlichen Elemente von a schon korrekt positioniert sind. Evaluation: Aufwand: Das Verfahren hat den Aufwand O N log N Dieser Aufwand wird jetzt sogar immer garantiert, da bei der Zerlegung grundsätzlich die Längen der Arrays halbiert werden.

Der Rumpf der Methode enthält aber mehr Operationen als der von Quicksort, weshalb Quicksort — im Durchschnitt — etwas schneller ist. Standardtests: Leerer, ein-, zweielementiger Teil- Array.

Die Motivation für die Vorsortierung des Heapsorts kommt aus dem Selection sort s. Abschnitt 8. Wenn es gelingt, diese Suche schnell zu machen, dann ist der ganze Sortierprozess wesentlich beschleunigt.

Und genau das macht Heapsort. Das Verfahren ist konzeptuell ein bisschen schwieriger zu verstehen, hat aber gegenüber Quicksort und Mergesort gewisse Vorteile: Statistische Messungen zeigen, dass das Verfahren im Mittel etwas langsamer ist als Quicksort allerdings nur um einen konstanten Faktor.

Dafür ist es aber — wie auch Mergesort — im worst case immer noch gleich schnell, nämlich O N log N. Im Gegensatz zum Mergesort arbeitet das Verfahren aber in situ.

Methode: 2-Phasen-Prozess Das Verfahren arbeitet in 2 Phasen: — In Phase 1 wird aus dem ungeordneten Array ein teilweise vorgeordneter Heap.

Der Trick bei der Sache ist ganz einfach, dass in den Array eine andere Datenstruktur hineincodiert wurde — nämlich ein spezieller Baum s.

Kapitel Kapitel 18 : Sie sind binär; d. Und sie sind balanciert; d. Wenn wir die Knoten eines solchen Baums 3 Üblicherweise lässt man die Nummerierung bei 1 beginnen.

Aber weil java-Arrays ab 0 indiziert werden, müssen wir auch bei den Bäumen die Indizierung bei 0 beginnen lassen.

Dadurch werden zwar die Formeln ein bisschen hässlicher, aber insgesamt ist die Modellierung homogener. Mit anderen Worten: Die Knoten eines solchen Baumes lassen sich als Array a[ N-1] abspeichern, wobei die Indizes der Eltern- und Kindknoten sich jeweils ganz leicht ausrechnen lassen.

Wir benutzen dazu ein paar Hilfsfunktionen, um z. Das Programm läuft aber letztlich auf Arrays. Phase 1.

Wir haben einen völlig ungeordneten Array, den wir allerdings als balancierten Baum betrachten. Wir sprechen dann von einem geordneten Baum.

Insbesondere gilt dann, dass das maximale Element an der Wurzel steht — also genau die Eigenschaft, nach der wir suchen.

An der neuen Position ist es aber wieder falsch, also muss es noch weiter hinabrutschen. Damit können wir jetzt die Phase 1 vollständig beschreiben: Wir machen von unten her alle Teilbäume zu Heaps.

Für die Knoten 4, 3, 2, 1, 0 führen wir nacheinander die Operation sink aus. Das ist im Programm 8. Evaluation: Phase 1 Aufwand: Überraschenderweise ist der Aufwand der Phase 1 linear, also O N obwohl man intuitiv mit O N log N rechnen würde.

Die bessere Abschätzung sieht man ganz leicht ein: Die Höhe h eines Knotens ist seine maximale Entfernung von einem Blatt.

Für einen Knoten der Höhe h bewirkt die Operation sink maximal h Swaps. Wenn wir den Heap als Array betrachten, dann steht das maximale Element ganz links nämlich an der Wurzel des Baumes.

Es sollte aber ganz rechts stehen. Also führen wir einen Swap aus. Das Ergebnis sieht so aus wie im mittleren der folgenden Bäume: B steht an der Wurzel, Z gehört nicht mehr zum Baum.

Das Ergebnis ist im rechten Baum illustriert. Man beachte, dass wir es jetzt mit verkürzten Heaps zu tun haben, sodass die Operation sink mit dem jeweils aktuellen Ende j aufgerufen werden muss.

Evaluation: Phase 2 Aufwand: Diese zweite Phase behandelt alle Knoten, wobei jeder Knoten von der Wurzel aus bis zu log N Stufen absinken muss. Insgesamt erhalten wir damit O N log N Schritte.

Der Heapsort arbeitet in situ; das macht ihn dem Mergesort überlegen. Und er garantiert immer O N log N Schritte; das macht ihn dem Quicksort überlegen, weil der im worst case auf O N 2 Schritte ansteigt.

Wenn der Quicksort jedoch seinen Normalfall mit O N log N Schritten erreicht, dann ist er schneller als Heapsort, weil er weniger Operationen pro Schritt braucht.

Aber diese Konstante lässt sich im Heapsort noch verbessern. Wir betrachten nur Phase 2, weil sie die teure ist. Wir können aber folgende Variation programmieren illustriert anhand der zweiten der beiden obigen Bilderserien : Das Wurzelelement V wird nicht mit dem letzten Element D vertauscht, sondern nur an die letzte Stelle geschrieben; D wird in einer Hilfsvariablen aufbewahrt.

Unten angekommen, wird D aus der Hilfsvariablen in die Lücke geschrieben. Aber das ist so noch falsch! Also brauchen wir eine Operation ascend — das duale Gegenstück zu sink —, mit dem das Element wieder an die korrekte Position hochsteigen kann.

Diese Operation braucht pro Schritt einen Vergleich mit dem Elternknoten und die Zuweisung dieses Elternelements an den Kindknoten.

Wenn die richtige Stelle erreicht ist, wird der zwischengespeicherte Wert — in unserem Beispiel D — eingetragen.

Übung 8. Diese Abschätzungen sind auch optimal: In der Theoretischen Informatik wird bewiesen, dass Sortieren generell nicht schneller gehen kann als mit O N log N Aufwand.

Ein solcher Algorithmus ist Bucketsort. Jedes Element besitzt einen Schlüssel z. Postleitzahl, Datum etc.

Der Bucketsort funktioniert aber nur für spezielle Typen, nämlich solche, die eine kleine Schlüsselmenge als Sortiergrundlage verwenden. Andernfalls macht die Verwendung einer Tabelle keinen Sinn.

Aber es geht auch linear! Man muss nur die Idee des Quicksort verwenden, aber ohne gleich den ganzen Array zu sortieren.

Man adaptiere die Quicksort-Idee so, dass ein Programm zur Bestimmung des Medians entsteht. Deshalb müssen wir bei den behandelten Themen eine gewisse Bandbreite sicherstellen.

Der begrenzte Platz erlaubt nur eine exemplarische Behandlung einiger weniger phänotypischer Algorithmen. Dabei müssen wir uns auch auf die Fragen der programmiertechnischen Implementierung konzentrieren.

Beide werden programmiertechnisch als ein-, zwei- oder mehrdimensionale Arrays dargestellt. Eindimensionale Arrays haben wir in den vorausgegangenen Kapiteln schon benutzt.

Jetzt wollen wir zweidimensionale Arrays betrachten. Die Verallgemeinerung auf drei und mehr Dimensionen funktioniert nach dem gleichen Schema.

Zweidimensionale Arrays werden in java einfach als Arrays von Arrays dargestellt. Damit sieht z. Das kann der Programmierer in jeder Applikation selbst entscheiden.

Die Initialisierung mehrdimensionaler Arrays erfolgt meistens in geschachtelten for-Schleifen. Aber man kann auch eine kompakte Initialisierung der einzelnen Zeilen vornehmen.

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